zur Videoseite: Graph einer Funktion
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In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Graph einer Funktion ist.
Erforderliches Vorwissen
Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet ist.
Wem diese Definition zu theoretisch ist, sollte folgende Abbildung genau betrachten:
Für die Definitionsmenge gilt: .
Für die Wertemenge gilt: .
Der Zusammenhang zwischen den Elementen der Definitionsmenge und den Elementen der Wertemenge zeigen Zuordnungspfeile an.
Um zu erklären, was eine Funktion ist, eignet sich die obige Abbildung hervorragend: Es ist sofort ersichtlich das jedem genau ein zugeordnet ist.
(01:01)
Wie du eben schon gesehen hast, kannst du den Graph einer Funktion mithilfe einer Wertetabelle zeichnen .
Die Parabel f(x) = x2 zeigt dir den Unterschied zwischen Definitions- und Wertebereich.
Die Zahlen, die du für x einsetzen kannst, sind bei einer Parabel in keine Richtung der x-Achse beschränkt.
Quiz zum Thema Graph einer Funktion
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Prima! Willst du noch mehr darüber erfahren, wie man einen Graphen zeichnen kann? Trägst du alle Punkte einer Funktion in ein Koordinatensystem ein, kannst du sie so graphisch darstellen.
Ein Graph kann zum Beispiel so aussehen:
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Willst du den Graphen einer Funktion selber zeichnen, kannst du dafür eine Wertetabelle benutzen.
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |
f(x) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Sie zeigt dir für einige x-Werte den jeweiligen Funktionswert f(x) (auch y-Wert genannt) der Funktion.
Mit dem Graph einer Funktion kennst du dich jetzt schon gut aus. Die Funktion f(x) hat unendlich viele Punkte. Der Wertebereich beschreibt die Werte, die die Funktion f(x) annehmen kann, wenn du die x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzt. Du kannst sie für eine gegebene Funktion f(x) berechnen. Das sind die Punkte, die du bei einer Kurvendiskussion berechnest:
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Diese Punkte helfen dir besonders beim Zeichnen des Funktionsgraphen.
Die Werte für diese Tabelle kannst du berechnen. Das kannst du so schreiben:
= {}
Der Graph einer Funktion f(x) lässt sich auch als Menge Gf darstellen:
Gf = {(x, y) | x und y = f(x)}
Dabei ist der Definitionsbereich von f(x).
Dabei handelt es sich um den Graphen der Funktion.
Der Graph besteht in diesem Fall lediglich aus vier Punkten. Wenn du genauer wissen, wie das funktioniert, dann schau dir unser Video dazu an!
Der Definitionsbereich beschreibt, welche Zahlen du für die Variable x einsetzen darfst.
Auch wenn du keine Punkte mehr eingezeichnet hast, geht die Funktion noch weiter.
Dafür setzt du die x-Werte in die Funktion ein und rechnest die passenden Funktionswerte aus.
f(x) = 0,5x2 – 2x + 3
f(-1) = 0,5 • (-1)2 -2 • (-1) + 3 = 0,5 • 1 + 2 + 3 = 5,5
f(2) = 0,5 • 22 – 2 • 2 + 3 = 0,5 • 4 – 4 + 3 = 1
Diese Punkte überträgst du dann in eine Tabelle:
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | 5,5 | 3 | 1,5 | 1 | 1,5 | 3 | 5,5 |
Wenn du die Wertetabelle berechnet hast, kannst du die Punkte in ein Koordinatensystem zeichnen und sie zu dem Graphen verbinden.
Achtung: Der Graph der Funktion endet nicht an einem bestimmten Punkt.
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich einen y-Wert aus dem Wertebereich zuordnet. Dann schau dir gleich das Video dazu an!
Einige Punkte werden hier in eine Wertetabelle eingetragen:
Nun kann man den Graphen zeichnen, indem man sich an diesen Punkten orientiert.
Für den Graphen einer Funktion schreibt man . Dabei bekommst du den Funktionswert, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. In den meisten Fällen (siehe nächster Abschnitt) handelt es sich bei dem Graphen einer Funktion um eine Gerade oder eine Kurve.
Im Folgenden schauen wir uns einige Beispiele für Funktionsgraphen an.
Beispiel 2
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
In der Abbildung ist der Graph der Funktion eingezeichnet.
Hier gilt:
Beispiel 3
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
In der Abbildung ist der Graph der Funktion eingezeichnet.
Hier gilt:
Beispiel 4
In der Abbildung ist der Graph der Funktion eingezeichnet.
Hier gilt:
Obwohl man zwei Kurven sieht, handelt es sich um den Graphen einer Funktion.
Als Menge lässt sich wie folgt schreiben:
oder
Die direkteste Methode, einen Graphen zu zeichnen, ist, möglichst viele Punkte des Graphen zu berechnen. Er sieht wie folgt aus.
Hat man zuvor schon eine Kurvendiskussion der Funktion ausgeführt, ist es ratsam, die wichtigen Punkte (Minima, Maxima, Nullstellen, Wende- und Terrassenpunkte) des Graphen einzuzeichnen.
Mit diesen Punkten als Stützstellen und den Grenzwerten gegen lässt sich der Graph meistens viel leichter nachzeichnen als mit beliebig ausgewählten Punkten.
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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
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(00:12)
Der Graph einer Funktion f(x) ist eine Zeichnung der Funktion in der Ebene.
Möchte man allerdings weitere Informationen aus der Funktion herauslesen, wählt man eine andere Darstellung der Funktion.
Es gibt im Wesentlichen drei Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen:
Funktionsgleichung
Funktionsgraph (kurz: Graph)
Wertetabelle
In diesem Kapitel beschränken wir uns auf den Graphen einer Funktion.
Der Graph einer Funktion ist die Menge aller geordneten Paare aus den Elementen der Definitionsmenge und den Elementen der Wertemenge .
Geordnet bedeutet, dass in die Reihenfolge von und wichtig ist:
ist verschieden von – außer möglicherweise in Sonderfällen.
Beispiel 1
Laut Abbildung gilt:
Die Funktionsgleichung der obigen Funktion lautet:
Der Graph der Funktion ist die Menge aller geordneten Paare :
Die geordneten Paare werden meist als Punkte mit den Koordinaten interpretiert:
, , ,
Zeichnet man die Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem, erhält man folgende Abbildung.
Bedenke aber, dass eine Funktion noch mehr Punkte hat, als die in der Wertetabelle. Dies geht so:
Eine beliebige Zahl als x-Koordinate wählen
x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzen
das Ergebnis f(x) ist dann die y-Koordinate
den Punkt (x, f(x)) in ein Koordinatensystem eintragen
Wenn man einige Punkte des Graphen eingezeichnet hat, kann man den durchgängigen Graphen zeichnen.