Und wieder 2m nach oben. Um darauf vorbereitet zu sein, solltest du dir unbedingt unser Video dazu ansehen.
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.
Wo befindet sich ein Flugzeug oder ein Helikopter am Himmel?
Du erhältst z.B.
Also ist der Verbindungsvektor zwischen A = (2 | 8 | 5) und B = (1 | 4 | 3):
Der Abstand zwischen A und B ist die Länge des Verbindungsvektors .
In unserem Beispiel ist der Abstand zwischen A und B also:
Berechne also als erstes den Verbindungsvektor zwischen A und B:
$$vec v = ((v_x),(v_y))$$,
Die Zahlen $$v_x$$ und $$v_y$$ heißen die Koordinaten des Vektors $$vec v$$.
Natürlich läuft ein Pfeil nicht immer von links unten nach rechts oben, sondern kann in verschiedene Richtungen zeigen.
Zeigt ein Pfeil bzw.
Lege den Startpunkt als (0|0|0) fest und du kannst die aktuelle Position ausrechnen. Hast Du Dich schon einmal gefragt, wie diese Verschiebungspfeile eigentlich bezeichnet werden?
Die Abbildung zeigt eine Parallelverschiebung des Dreiecks $$ABC$$ zum Dreieck $$A’B’C’$$. Nach rechts in x2-Richtung und nach hinten in x1-Richtung.
oben/unten gehen musst, um zu den entsprechenden Bildpunkten zu gelangen.
In dem Beispiel geht ein Pfeil von $$A$$ nach $$A’$$, und zwar 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach oben, also
$$vec{A A’}=((2),(5))$$.
Kommst du auch bei den anderen Vektoren auf die richtigen Werte?
Aufgaben bzw.
Dabei wird das Malzeichen öfters etwas dicker geschrieben Das Skalarprodukt wird zum Beispiel für die Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet.
Mehr dazu unter Skalarprodukt berechnen und Skalarprodukt Winkel.
Anzeigen:Wir bieten auch schon eine Reihe an Erklärungen zu den Themen der Vektorrechnung an.
$$vec {\A\A’}$$, heraus. Würdest Du die Pfeile übereinander legen, wäre nur noch ein Pfeil zu sehen.
Dieser Pfeil (der eigentlich eine ganze Menge von Pfeilen bezeichnet!) heißt Vektor $$vec v$$. Dann 10m nach rechts.
Es gilt also $$vec v ={vec{\A\A’}, vec{BB’}, vec{\C\C’},…}$$
Der Vektor $$vec v$$ ist somit eine Abkürzung für eine Menge von gleichgearteten Verschiebungspfeilen!
Um den Vektor darzustellen, greifst Du Dir nun einfach einen Pfeil dieser großen Menge, z.B.
Die nächste Grafik zeigt wie so etwas aussehen kann.
Den Vektor von A nach B schreibt man in der Mathematik so auf:
Mehr dazu unter Vektoren Grundlagen.
Eine spezielle Art der Multiplikation gibt es in der Vektorrechnung: Das Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung von zwei Vektoren bei der eine Zahl als Ergebnis rauskommt.
Dabei gibt die obere Zahl eine Verschiebung nach rechts (+) oder links (–) und die untere Zahl eine Verschiebung nach oben (+) oder nach unten (–) an.
Beispiele:
$$((-5),(3))$$ 5 Einheiten nach links, 3 nach oben
$$((5),(-3))$$ 5 Einheiten nach rechts, 3 nach unten
$$((-5),(-3))$$ 5 Einheiten nach links, 3 nach unten.
Beachte, dass das Pluszeichen als Vorzeichen in der Mathematik in der Regel nicht notiert wird - als Rechenzeichen muss es notiert werden.
Hier siehst du vier Vektoren mit unterschiedlichen Vorzeichen der Koordinaten:
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Wenn du die Koordinaten der Vektoren bestimmen sollst, musst du nachzählen, wie viele Längeneinheiten du von einem Punkt ausgehend nach rechts/links bzw.
Du weißt schon, dass eine Verschiebung in der Ebene einen Punkt $$A$$ auf den Punkt $$A’$$ abbildet - genau das gibt der Vektor auch an! Das ist der Verbindungsvektor. Ein Malzeichen zwischen zwei Vektoren drückt aus, dass das Skalarprodukt berechnet werden soll. Die Liste wird regelmäßig erweitert, sobald neue Übungsthemen vorliegen.
Der Vektor ist genauso lang wie , aber zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
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(02:20)
Das Skalarprodukt ist trotz des ähnlichen Namens etwas anderes als die Skalarmultiplikation.
Dazu mehr im nächsten Abschnitt
In Naturwissenschaften wie zum Beispiel Mathematik und Physik möchte man die Lage und Bewegung von Dingen beschreiben können. In diesem kann man zum Beispiel die Position von einem Flugzeug beschreiben. Deshalb sind zwei Tipps von uns:
Finde einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Vektoren und steht mit:
im Videozum Video springen
Jetzt beherrschst du sämtliche Operationen der Vektorrechnung.
Du siehst im Bild ein Dreieck, bei dem die Eckpunkte durch Pfeile ein Stückchen verschoben wurden. Der Vektor zeigt also in die gleiche Richtung wie , ist aber doppelt so lang. Im klassischen Koordinatensystem entspricht eine Bewegung nach oben einer Bewegung in x3-Richtung.